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黃高出英才,奮進新時代(三):翩翩燕歸來 | 專訪袁新意教授
2021-01-28 14:47:00 返回列表

  袁新意,1981年出生于湖北省麻城市,1997-2000年就讀于湖北省黃岡中學。2000年代表中國參加在韓國舉辦的第41屆國際數學奧林匹克競賽獲金牌,同年保送北京大學。

  翩翩燕歸來 | 專訪袁新意教授

  2020年1月,北大數學“黃金一代”成員之一的袁新意回到北大,任北京國際數學研究中心教授。他是新生代數學家中第一位在美國頂尖高校獲得終身教職后回國的學者。他也是第一位獲美國克雷研究所研究獎學金的華人。

  袁新意于2003年本科畢業于北京大學數學科學學院,2008年獲得美國哥倫比亞大學數學博士學位。同年,他獲得著名的Clay Research Fellow,在美國克雷研究所做博士后,2011年至2012年在普林斯頓大學任助理教授,2012年起在美國加州大學伯克利分校任助理教授,2018年7月起任副教授。袁新意的工作領域是數論和算術幾何,主要的工作方向有兩個:1. Arakelov幾何和代數動力系統;2. 自守形式,志村簇與L函數。他在這兩個方向都有突破性的工作,被認為是這兩個方向的國際領軍數學家。

袁新意老師2018年回北大訪問期間攝于未名湖畔

  一、來到數論“群山”腳下

  多年以后,在初雪紛紛而落的北京,當袁新意望著數學中心院內的銀色世界時,也許會想起父親帶他去鎮上新華書店的那個遙遠而火熱的夏天。那時他的數學世界里沒有Arakelov發明的精巧的相交理論,也沒有Gross和Zagier揭示橢圓曲線有理點信息的深刻公式,但簡單的四則運算和初等方程已經足夠俘獲一個懵懂少年的心。

  和很多后來成長為優秀數學家的同輩一樣,那時的袁新意也渴望在數學競賽中證明自己的熱愛,但他對數學的熱切呼喚并沒有立刻得到回應。在初一暑假那個火熱的夏天,因為缺乏系統訓練而屢次在數學競賽中鎩羽而歸的袁新意終于下定決心,在鎮上的新華書店買了一本競賽教材并開始自學。艱苦的訓練帶來了豐碩的回報。初中數學聯賽滿分,高中一路入選國家隊并順利獲得國際數學奧林匹克金牌,然后順理成章地來到北京大學數學科學學院。

  本科是一段奇妙的旅程,在這期間,袁新意收獲了新知,結識了好友,但也經歷了迷茫和煎熬。新世紀前后,北大數學已經開啟了針對本科生的“加強版”培養模式,前沿報告、學生討論班、本科生科研等為同學們帶來了精妙的前所未聞的數學知識,也啟迪著他們的智慧,引導他們走上探索發現之路。這種“求知若渴”的高強度學習方式最終培養出為人稱道的“黃金一代”,但對當時的袁新意來說,仰之彌高、鉆之彌堅的歷代數學家的思想結晶讓他在欣賞的同時,也讓他對自己能否勝任數學工作心生膽怯。

  值得慶幸的是,這些高維向量叢中紛繁復雜的思想截面沒有影響袁新意在“現實的底空間上”堅定前行的腳步。這個從湖北鄉村走出來的陽光少年,憑借他個性中的執著和闖蕩精神,熬過了困惑和GRE,抱著“至少看看別人是怎么做數學的”簡單想法,三年本科畢業的袁新意遠渡重洋,來到美國哥倫比亞大學,跟隨張壽武老師學習數論。

  “畢竟一個人的一生很長,用最年富力強的時光嘗試實現自己的追求,并沒有人們想象的那么奢侈。”袁新意用這句話來為自己的彷徨時代作注解。

  在哥大,師長和同學的幫助、身邊環境的熏陶給了他很大的觸動,他意識到這就是自己想要的生活,而且相信自己完全有能力成為他們這樣的人。安下心來的他,終于來到了數論群山的山腳下,開始攀登了。

  二、“我可以嗎?”可以!

  純粹數學之路是一條不平凡的路,在越過那個“點”,真正獨立地作出一個令同行承認的成果之前,每個走在這條路上的年輕人對自己選擇的這條路未免心存疑惑,袁新意也不例外。從本科時代起就有一個藏在他心底的疑問:我能在數學上做到滿意嗎?

袁新意老師2013年回國探親期間攝于湖北麻城

  學生時代的第一個研究問題往往對一個數學家意義重大。在張壽武老師的指導下,博士期間的袁新意首先關注的是Arakelov幾何的相關問題,這個理論在70年代由Arakelov提出,最早的目的是為了求解丟番圖方程。它將抽象的代數幾何和復微分幾何聯系起來:微分幾何里的曲率的積分在某種意義下可以被理解為相交數,自然可以和代數幾何里面的相交數建立起聯系。具體到求解丟番圖方程上,一般我們考慮丟番圖方程是考慮它的有理數解或整數解,但也可以在例如p進數、實數乃至復數集上觀察它的結構。Arakelov幾何就是把這些p進的性質和實數的乃至復數的性質拼接起來。后來Faltings集其中諸多思想之大成,最終證明了Mordell猜想,這使得Arakelov幾何引起了廣泛關注。再后來Gillet和Soule完整地建立了任意維數的Arakelov幾何的理論,還以此工具證明了算術Riemann-Roch定理,成功地將微分幾何中的Atiyah-Singer指標定理和代數幾何中的Grothendieck-Riemann-Roch定理聯系起來。

  袁新意最初考慮的問題是將Arakelov幾何應用到代數動力系統中,得到一個等分布的結果。這個問題是把蕭蔭堂的一個代數幾何的結果推廣到Arakelov幾何中,這個結果在代數幾何里是比較容易的,而他要做的是這個結果在Arakelov幾何里的復雜得多的算術版本。在總結前人工作的基礎上,他慢慢地將問題轉化成一個復微分幾何的問題。這個問題很湊巧是田剛利用L^2估計方法完成的一個早期工作的推廣,但是L^2估計對不熟悉微分幾何的他來說是難以逾越的障礙。

  在經過大概半年的苦苦求索后,重要的一天出其不意地降臨了。那一天,在又一次漫長而無果的探索過后,他向張壽武尋求建議。張壽武建議他去問復幾何領域的專家蕭蔭堂這一步如何實現,因為碰巧蕭蔭堂第二天要去哥倫比亞大學作報告。為了向專家提出準確的問題,他當天反復檢驗整理自己的工作,直到雞鳴月落。寂靜總是伴隨著夜晚,但靈感也往往隨之生發出來。他突然意識到他不需要推廣完整的證明,而只需要直接從田剛的結果出發,再用結果去證明加強的版本就行。些微的倦意瞬間被驅散,激動得難以自持的他立刻開始反復檢查自己的思路是否正確。在激情燃燒的工作中,周圍的一切似乎都淡去了,初升的太陽溫暖著他,十年寒窗的辛勤探索在這一刻都變得意義非凡。陽光融化了曾經的困惑,給他留下了純粹的擁有數學的幸福。

  那一次深夜里的突破看似在一瞬之間,實際卻是多年知識累積和日夜思索的結果。從學生向研究者的轉變也自然而然地完成了。在本科時代就藏在袁新意心底的疑問現在終于有了答案。

  三、向“最迷人的問題”前進

  隨著知識和技術的積累,袁新意渴望向更深刻的數論問題前進。數論中有很多迷人的問題,而最吸引他的則是BSD猜想。

  BSD猜想可以被粗略地描述為建立橢圓曲線E的有理點集形成的有限生成Abel群的算數信息和與之相對應的Hasse-Weil L-函數L(E,s)在s=1的泰勒展開式的分析信息之間的聯系。這是一個關于橢圓曲線上有理點結構刻畫的深刻猜想,同時也被克雷數學研究所列為千禧年七大數學問題之一。數學家為了解決這個猜想發明了大量的數學工具,而Gross-Zagier公式就是目前推進BSD猜想證明的最有力工具之一。在上世紀50年代,Heegner通過超越方法得到了橢圓曲線上的一個有理點(即對應的方程的一個有理解),但是超越方法得到的這個解有著復雜的冪級數的形式,雖然它被證明收斂到了有理數,因而確實是一個有理點,但我們甚至不知道它是否只是平凡的撓解。Gross-Zagier公式就是通過利用L函數來檢驗這個解是否平凡的工具,因為它也反映了L函數與解的信息之間的關系,所以和BSD猜想有著很直接的聯系。這種聯系很快被數學家發現,在上世紀80-90年代,數學家利用Gross-Zagier公式解決了階數為0和1的BSD猜想。

袁新意老師2018年在加州大學伯克利分校上課

  袁新意對BSD猜想的熱情來自本科時閱讀的一本橢圓曲線的英文教材。當時的他還不太理解這個猜想的描述,但他已經暗暗地希望自己可以為這個猜想的解決做出貢獻??梢詫崿F青年時期夢想的人總是幸運得讓人嫉妒,博士學位問題攻克后,他的技術能力和知識水平已經可以讓他嘗試挑戰這個猜想了。更加幸運的是,他的導師張壽武老師除了Arakelov幾何之外,也是Gross-Zagier公式領域的專家。于是他便轉換興趣,開始學習Gross-Zagier公式的相關應用和推廣。恰好他本科和研究生的同學,后來也成長為“黃金一代”的代表數學家張偉此時也在張壽武門下學習Gross-Zagier公式。于是研究的過程一如美好的昨日,“記得在哥大討論班結束后我們從樓里出來,頭頂是夜空清冷的月光,那種感覺,就跟本科時討論班結束后我們深夜回宿舍時的感覺一樣。”他和張壽武,張偉合作,證明了Gross-Zagier公式相關的一系列重要結果。

  袁新意的另一個重要成果是和張壽武合作,證明了Colmez猜想的平均形式。“實際上另一組數學家Andreatta—Goren—Howard—Madapusi-Pera也獨立地證明了這個猜想。”采訪中,袁新意笑著補充。這個公式是關于帶復乘的阿貝爾簇的Faltings高度的計算。猜想的原始版本過于困難,但是經過研究發現,可以把一些相關的項的Faltings高度加起來做一個平均,而這些相關的項是被同一個域所復乘的,這個平均值的計算就會容易很多。“我們在2008至2009年已經在這個問題上有所突破,完成了部分證明。不過當時沒有看到這個平均Colmez猜想的應用,所以后半部分的證明就被擱置了。”后來到了2014至2015年,加拿大青年數學家Tsimerman在前人工作的基礎上嘗試證明另一個數論中的重要猜想:志村簇的André–Oort猜想,他的證明依賴于平均Colmez猜想。于是意識到這個定理具有重要應用的袁新意和張壽武再次合作,最終完成了全部的證明。

  此外,袁新意還獨立證明了全實域上的志村(Shimura)曲線的高度公式。志村曲線是模曲線的一種推廣,它們都是一維的志村簇。志村曲線的高度被定義為一個實數,這個實數可以衡量曲線在算術范圍內的復雜度。袁新意最終證明了志村曲線的高度可以表達為戴德金zeta函數在s=2處的導數,其中戴德金zeta函數是大家所熟知的黎曼zeta函數將有理數域換成代數數域得到的。這一工作推廣了之前Kulda—Rapport—Yang在有理數域的志村簇上的公式,可以視為經典的Kronecker極限公式在現代算術幾何里的延伸。

  四、未來探求:從精密結構到新的理論

  袁新意的一系列工作得到了國際同行的廣泛認可,文章多次發表在數學界最頂尖的期刊(如Annals of Mathematics,Inventiones mathematicae)上。這是令很多數學家艷羨的成就,但對他來說,更讓人興奮的是這一系列工作背后的精密結構。上面提到的三個工作的證明可以被同一框架所概括:幾何對象的高度(算術信息)可以用L函數的導數(分析信息)來表達。在他和張壽武、張偉合作進行Gross-Zagier公式的推廣時,他開始逐步意識到這一點。而后在證明平均Colmez猜想和志村曲線的高度公式時,二者的關系則展現得更加完善。當他們考慮比較兩組生成函數形成的模形式,其中一組描述志村曲線的點的算術相交數(即高度),反應幾何對象的算術信息;另一組描述愛森斯坦級數的求導,給出了分析信息。這兩組模形式作為冪級數會在很深刻的意義上表現出“幾乎相等”的性質。比如取出兩邊在重要性意義下的主項,比較它們的對應項,這些對應項的相等性質(在不考慮余項的情形下)就會給出Gross-Zagier公式;而兩邊退化的對應項會給出平均Colmez猜想;另外高度退化的對應項會給出志村曲線的高度公式。這種結構性的深刻聯系帶來了很多數論中的公式和猜想,雖然它還沒有被很明確地認識,但這種求之不得的美可能也是令袁新意沉醉其中的魅力所在。

數學中心院落外景

  袁新意在Arakelov幾何和Gross-Zagier公式相關領域都取得了不凡的成績,但他并不滿足,“我最關心的BSD猜想,現有的方法還是遇到了瓶頸。”如前所述,BSD猜想階數0和階數1的情形已經被較好地解決,但是對更高階數的BSD猜想,現在幾乎沒有任何好的想法。于是袁新意渴望建立新的數學理論,雖然從數學的發展程度來看,目前BSD猜想還遠未到被徹底證明的時機,但一方面出于自己的性格,他不太熱衷于跟著別人的想法;另一方面Gross-Zagier公式雖然還有非常廣泛而美妙的問題等待探索,但面對高階BSD猜想已經比較吃力。

  尾聲

  如同數學史上常常發生的那樣,在數學工具因發展完善而慢慢放緩前進的步伐之時,新的數學也在呼之欲出。懷著對全新數學的期待,袁新意再次回到了曾經無比熟悉的燕園。在美國頂尖高校豐富的任教與研究的經歷讓他有很深的觀察:哈佛、普林斯頓、伯克利等美國頂尖高校由于長期以來積累的學科優勢,以及一些文化或制度方面的原因,師生都比較放松、自信,這種氛圍對做研究來說是非常有利的,國內高校在這方面仍然存在差距。“但我們也在迎頭趕上,國外頂尖高校的數學系規模普遍較小,而北大這邊,新近眾多高手的加盟讓這里有了更多相互交流的可能性,在數論的研究方面逐步形成了某種規模優勢。數論的各個分支的專家就在隔壁辦公室,只需要敲個門便可以交流討論。”袁新意對發展自己的全新數學充滿了期待。

  通過一系列定理的證明,籠罩在算術與分析橋梁上的細密網格已經羅織起來,而能否通過新的理論框架將整張大網一舉提起呢?讓我們靜靜地等待吧,袁新意所追求的新的數學,也許就會像燕園冬日的飛雪一樣,在一個寂靜的夜晚悄無聲息地在他身旁飄落,等待著他輕輕捧起。

  采訪、撰文 | 季策

  來源:北京國際數學研究中心BICMR

  編輯:羅凱

  初審:汪秀兵

  終審:陳忠新

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